Радиус бокового выреза лыжи и радиус окружности

Последние 15 лет радиус бокового выреза обычно написан прямо на лыже рядом с четкими параметрами геометрии лыжи: длиной и шириной носка/талии/пятки. Форма бокового выреза разная у разных производителей и вообще возможно связана с «секретами» фирмы 🙂 Тогда что обозначает «радиус»? У меня сразу возникает ассоциация с окружностью, то есть с кривой, которая полностью определяется одним параметром «радиус». В этой заметке попробую разобраться, насколько форма бокового выреза соответствует окружности.

Иногда форма бокового выреза указывается. Вот, например, лыжи Кесслер, с декларируемой формой в виде клотоиды (дуга с переменным радиусом, чем ближе к носку, тем радиус меньше).

Далее в заметке буду рассматривать только одну лыжу, слаломный «цех» Atomic Redster FIS SL 165 cm (2016). Подробнее об этих лыжах в заметке: Atomic Redster FIS SL 15/16, стали жёстче.

Ширина носка/талии/пятки указана на лыже: 117.5 / 65.5 / 101.5 мм. Реальные измерения дали чуть другие значения: 116.7 / 63.8 / 101.3 мм, правда лыжи ко времени качественного промера уже были точенные :).

Толщина канта на новых лыжах была 1.25 мм, а сточены они были примерно на 0.25 мм, что дает уменьшение ширины по сравнению с новыми лыжами примерно на 0.5 мм. Это к тому, что цифры ширины, написанные на лыже все равно не совсем правильные. Убедился в этом сразу после покупки, но точных данных не записал.

Боковой вырез и окружность

Построение окружности по трем точкам: максимальная ширина лыжи на носке, ширина талии и максимальная ширина лыжи на пятке дает радиус 12.71 м. Это больше, чем написано на лыже (12.5 м), хотя и ненамного. Однако измерение таким способом всегда будет давать завышенное значение радиуса. 

На рисунке показан смоделированный боковой вырез, состоящий из окружности (линия красного цвета) и кривой «другого знака» на носке лыжи (зеленого цвета). Видно, что самая широкая часть носка лыжи находится «вне зоны» основного радиуса. Поэтому построение окружности по самой широкой части (показана синим цветом) дает завышенное значение радиуса. Получается, что ширина пятки и носка это не более чем «транспортные габариты» лыжи.

Таким образом, если считать что боковой вырез лыжи представляет собой часть окружности, то чтобы вычислить радиус, нужно отступить к центру от самых широких точек на носке и пятке лыжи. Так и реализовано в «калькуляторе FIS».

Для расчета при помощи калькулятора FIS нужно ввести сначала две цифры. Первая — длина лыжи (можно ту, которая написана на лыже, напомню, что это длина скользящей поверхности). Вторая цифра — расстояние от пятки лыжи до талии (до самой узкой части лыжи, а не до «середины линии ботинка»). Затем калькулятор выдает две длины в районе пятки и носка, где нужно измерить ширину лыжи. Эти длины выдаются на основе опыта FIS так, чтобы уйти от самых широких частей лыжи к центру. В случае Atomic Redster FIS SL 15/16 165 см такой уход составляет на носке 9.6 см и на пятке 1.7 см. Радиус получается равен 12.23 м, с допуском 12.41 м. Допуск играет роль в лыжах для гиганта, где действуют рамки на ограничение минимального радиуса лыжи. В слаломных лыжах такого ограничения нет, поэтому цифра 12.41 м просто «для сведения». Цифры 12.23 и 12.41 меньше, чем написано на лыже (12.5 м), но примерно совпадают 🙂  Отмечу, что в калькуляторе FIS совсем не используются «транспортные габариты», написанные на лыже.

Боковой вырез лыжи аккуратно измерил, когда искал соответствие бокового выреза и прогиба, подробнее здесь: Соответствие бокового выреза прогибу лыжи. Часть 2. На скользящую поверхность приклеивал малярную ленту, размеченную через 1 см, ширину лыжи измерял штангенциркулем.

Штангенциркуль дает точность измерений 0.1 мм, с учетом того, что мог не всегда попадать в разметку на ленте, точность оцениваю не хуже, чем 0.2 мм.

Для дальнейшего анализа распределения радиуса кривизны по длине лыжи нужно определить рабочий участок. То есть, насколько нужно отступить от самых широких точек к центру. Это можно сделать, например методом «пристального взгляда», так чтобы кривая тренда хорошо совпадала с измеренным точками. А именно:

Получается, что в «хвосте» лыжи нужно отступить к центру от перегиба на 2 см, а на носке на 4 см. Это и есть «рабочий» диапазон бокового выреза (8-153 см, измеренный от пятки лыжи, всего 145 см от длины лыжи 165 см), который будет дальше анализироваться. Кстати, вычисление радиуса по крайним точкам этого диапазона дает значение 12.25 м.

Определение формы бокового выреза

Окружность можно построить по трем точкам, как это и было сделано в предыдущем разделе. Данные моего промера ширины лыжи позволяют выбрать три точки минимум через сантиметр. Можно построить окружность по трем соседним точкам через сантиметр, получившийся радиус отнести к средней точке. Затем сдвинуть этот «шаг 3 см» на 1 см, снова вычислить радиус, отнести его к следующей точке. Таким образом получится распределение радиуса по длине лыжи. Если боковой вырез соответствует окружности, то вычисленный радиус меняться не будет. Конечно измерить радиус 12 метров кусочком дуги 3 см — это утопия 🙂 Моделирование показывает, что даже на участках на краях точность измерений 0.1 мм может легко приводить к уменьшению вычисленного радиуса в 20 раз! Так оно и получилось, поэтому результаты вычислений для «шага 3 см» приводить не буду. Были сделаны также вычисления с «шагом 7 см» (средняя точка и на три точки-сантиметра в стороны), 15 см и 29 см. Результаты на рисунке с анимацией:

Видно, что разброс вычисленного радиуса от точки к точке очень большой, к тому же сильно зависит от размера от шага, в терминологии графика. Связано это с тем, что точности измерений 0.1 мм явно не достаточно для того, чтобы после обратного расчета получилась плавная зависимость радиуса по длине лыжи. Что-то можно сказать только по линиям тренда (приведены на графике в виде сплошных кривых линий), кривой 6-го порядка (максимум, что дает стандартный Эксель), построенной с минимальным отклонение от точек. Такая кривая для шага 7 см дает радиус примерно 10 метров по всей длине, для шага 15 см сложную форму со значениями радиуса примерно 15 метров, а для самого «широкого» измерения с «шагом» 29 см дает примерное совпадение с радиусом, определенным  по крайним точкам диапазона.

Если уж все равно что-то показывают только линии трендов, то правильнее сначала построить плавную кривую, проходящую с минимальными отклонениями через измеренные точки, а потом уже обработать ее «лекалом». Это может как бы повысить точность за счет допущения, что боковой вырез должен представлять собой плавную кривую.

Тренд в районе носка и пятки лыжи показан на рисунках выше по тексту (зеленая линия). А в середине, с еще более увеличенным вертикальным масштабом выглядит так:

Замена измеренных значений бокового выреза такой гладкой линией тренда дает совпадение вычислений радиусов для всех «шагов». Распределение радиуса бокового выреза по длине лыжи выглядит так:

Получается, что радиус бокового выреза изменяется по длине лыжи сложным образом примерно от 11.5 до 15 метров. Радиус по крайним точкам диапазона тоже чуть изменился и стал равен 12.30 м. Но делать выводы пока рано, поскольку аппроксимация реального бокового выреза, форма которого не известна, полиномом 6-го порядка вполне может дать такие «горбы», которые относятся не к форме бокового выреза, а к полиному.

Проверка применимости метода

Теперь самое время проверить что будет, если все-таки исходить из того, что боковой вырез это окружность. Для того нужно построить окружность, так чтобы она проходила с минимальными отклонениями через измерения. Затем к этой окружности нужно применить такое же преобразование, аппроксимация полиномом 6-го порядка. И наконец так же посмотреть распределение рассчитанных радиусов этого полинома. Если будут такие же «горбы», то значит в графике выше это не распределение радиуса по длине лыжи, а просто «аппаратная функция».

Окружность получилась с радиусом 12.25 м, центр по длине лыжи на расстоянии 74.05 см от пятки, а сама окружность на 0.12 мм отодвинута от канта. Суммарные отклонения точек окружности от измеренных оказались на 26% больше, чем при аппроксимации полиномом 6-го порядка.

Честно говоря, на этом можно было бы остановиться 🙂 Поскольку среднее отклонение точек полинома от измерений составляет 0.05 мм, а точек окружности — 0.06 мм. И то и другое в пределах точности измерений. Поэтому уже сейчас можно утверждать, что если и есть отличие от окружности, то оно незначительное. Да и сложно было бы чего-то ожидать, поскольку речь идет о радиусе 12.3 метра, а рассматриваемый участок дуги составляет все-навсего 145 см. Тем не менее…

Полученная окружность была заново аппроксимирована полиномом, получилось идеальное совпадение, то есть полином очень хорошо определяет окружность. Правда, ничего удивительного в этом нет 🙂 Обратное определение радиусов по шагам 3, 7, 15, 29 см тоже дает идеальное совпадение с окружностью:

То есть, идеальная окружность таким преобразованием определяется так же идеально 🙂 Теперь нужно посмотреть как смотрелся бы реально измеренный кант формы идеальной окружности. Для этого нужно добавить погрешность измерений при помощи генератора случайных чисел. На всякий случай сгенерировал кривые несколько раз, и для разной погрешности измерений. Погрешность в моем случае равна 0.1 мм (ширина с точностью 0.2 мм пополам). Хотя думаю, что точность измерений в два раза лучше 🙂  Результаты на анимации:

Видно, что даже при сгенерированной точности измерений 0.2 и 0.3 мм окружность остается окружностью на большей части диапазона. Только хвостики «капризничают». При «рабочих» значениях точности 0.05 и 0.1 мм радиус кривой на всем протяжении попадает в диапазон 12.3 +- 0.5 м. В диапазоне 24-135 см радиус практически постоянный. То есть нужно аккуратно относиться только к вычисленным радиусам на носу и пятке вне этого диапазона.

Форма бокового выреза — не окружность?

Из сопоставления данных обратного пересчета для реального бокового выреза и «зашумленной» окружности можно сделать вывод, что реальный боковой вырез все-таки не окружность, а кривая с переменным радиусом. Напомню, что это не общее утверждение, а для лыжи Atomic Redster FIS SL 15/16 длина 165 см, к тому же не новой, после неоднократных заточек кантов.

В любом случае разница между окружностью и «не окружностью» небольшая, если приложить лыжу к «трубе» радиусом 12.3 м, то просто кое-где будут заметны просветы менее 0.1 миллиметра. Это может быть и по задумке производителя, и из-за погрешности при производстве лыжи, и вследствие искажения исходной формы после «ручной» заточки кантов.

Если считать, что форма бокового выреза этой лыжи — не окружность, то распределение радиуса по длине  такое:

На носке лыжи радиус бокового выреза составляет 15 метров, затем по направлению к креплению он уменьшается на 30-и см длины лыжи до 12 метров, затем увеличивается до 12.8 метров и ближе к пятке уменьшается до 11.2 метров. При этом большая часть лыжи, 110 см укладывается в диапазон изменения радиуса от 11.8 до 12.8 метров (12.3 +- 0.5 м).

Вывод

Для конкретной лыжи Atomic Redster FIS SL 15/16 165 рабочая длина лыжи составляет 145 см. На этой длине форму бокового выреза можно считать и окружностью с радиусом 12.3 м, и кривой переменного радиуса с плавным увеличением радиуса к носку лыжи до 15 м. Разница между этими кривыми — в пределах искажения формы от заточки кантов 🙂

Сама по себе форма бокового выреза вряд ли интересна. Важнее то, как будет рисовать след на на снегу закантованная лыжа. Об этом — в следующей заметке Радиус бокового выреза лыжи и радиус поворота.

---

Вадим Никитин

 

 

 

на начало страницы